（１）まず「はさみ打ち」が閃きます。
任意の$x>0$に対して
\[-1\leqq \sin x\leqq 1\]
各辺$x^2>0$で割って
\[-\df{1}{x^2}\leqq \df{\sin x}{x^2}\leqq \df{1}{x^2}\]
各辺$x=t$から$2t$で積分して
\[ \int_t^{2t}-\df{1}{x^2}dx< \int_t^{2t}\df{\sin x}{x^2}dx< \int_t^{2t}\df{1}{x^2}dx\] 両端は積分できます。 \[ \left[\df{1}{x}\right]_t^{2t}< \int_t^{2t}\df{\sin x}{x^2}dx< \left[-\df{1}{x}\right]_t^{2t}\] つまり \[ -\df{1}{2t}< \int_t^{2t}\df{\sin x}{x^2}dx< \df{1}{2t}\] $t>0$に対して$ -\df{1}{t}<-\df{1}{2t}$および$ \df{1}{2t}<\df{1}{t}$なので \[ -\df{1}{t}< \int_t^{2t}\df{\sin x}{x^2}dx< \df{1}{t}\] (2)「部分積分」をするのでしょう。 \[ \begin{aligned} \int_t^{2t}\frac{\cos x}{x}\,dx &=\int_t^{2t}(\sin x)'\,\frac{1}{x}\,dx\\ &=\left[\sin x\cdot\frac{1}{x}\right]_t^{2t} -\int_t^{2t}\sin x\cdot\left(\frac{1}{x}\right)'\,dx\\ &=\frac{\sin 2t}{2t}-\frac{\sin t}{t} +\int_t^{2t}\frac{\sin x}{x^2}\,dx. \end{aligned} \] 右辺の第３項に(1)で評価した定積分が現れました。 $t\rightarrow \infty$のとき全て$0$に収束します。 (3)$f(x)$の形が積で不自然なので、積・和の公式で解（ほぐ）しておきます。 \[f(x)=\sin\left(\frac{3x}{2}\right)\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\df{\cos{x}-\cos{2x}}{2}\] とりあえず（極限をとる前の）定積分だけでもしておきましょう。 \[\int_1^t\frac{f(x)}{x}dx=\int_1^t\df{\cos{x}-\cos{2x}}{2x}dx\] 分けたくなります。 \[\int_1^t\frac{f(x)}{x}dx=\df{1}{2}\int_1^t\df{\cos{x}}{x}dx-\int_1^t\df{\cos{2x}}{2x}dx\] 右辺の第２項だけ$p=2x$と置換したくなります。 \[\int_1^t\frac{f(x)}{x}dx=\df{1}{2}\int_1^t\df{\cos{x}}{x}dx-\df{1}{2}\int_2^{2t}\df{\cos{p}}{p}dp\] 定積分は変数に依存しないので、$p$を$x$に戻しましょう。 \[\int_1^t\frac{f(x)}{x}dx=\df{1}{2}\int_1^t\df{\cos{x}}{x}dx-\df{1}{2}\int_2^{2t}\df{\cos{x}}{x}dx\] 第２項を反転させます。 \[\int_1^t\frac{f(x)}{x}dx=\df{1}{2}\int_1^t\df{\cos{x}}{x}dx+\df{1}{2}\int_{2t}^{2}\df{\cos{x}}{x}dx\] 「惜しい！$x=t$から$2t$までの定積分があれば繋がるのに！」と嘆きます。 でも「なければ付けたせばよい」のです。その後、帳尻合せておけば…
\[
\int_1^t\frac{f(x)}{x}dx=
\df{1}{2}\int_1^t\df{\cos{x}}{x}dx
{\color{blue}{+\df{1}{2}\int_{t}^{2t}\df{\cos{x}}{x}dx}}
+\df{1}{2}\int_{2t}^{2}\df{\cos{x}}{x}dx
{\color{red}{-\df{1}{2}\int_{t}^{2t}\df{\cos{x}}{x}dx}}
\]
無事に三つ繋がりました。

\[\int_1^t\frac{f(x)}{x}dx=
\df{1}{2}\int_1^{2}\df{\cos{x}}{x}dx
\color{red}{-\df{1}{2}\int_{t}^{2t}\df{\cos{x}}{x}dx}
\]
これの$t\rightarrow \infty$のときの極限について、右辺の第一項は$t$に依存しない定数なのでそのまま残り、右辺の第二項が$0$になるのは先ほど(2)で示しました。