2015年度東京大学（理系）第６問

𝒏を正の整数とする。以下の問いに答えよ。

• 関数𝒈(𝒙)を次のように定める。
  
  
  
  𝒇(𝐱)を連続な関数とし、𝒑、𝒒を実数とする。
  
  
  
  をみたす𝒙に対して𝒑≦𝒇(𝒙)≦𝒒が成り立つとき、次の不等式を示せ。
  
  
• 関数𝒉(𝒙)を次のように定める。
  
  
  
  このとき、次の極限を求めよ。
  
  

まず関数



の係数が不自然なことに気が付くことが第一歩である。なぜ負号がつくのか。そして何故π/2なのか。前半（１）の𝒈(𝒙)の導関数になっていることに気付けば勝負あり。まず関数の台を削る。



𝒈(𝒏𝒙)を𝒙で微分すると𝒏𝒉(𝒏𝒙)になるので



部分積分を実行する。



次に



で𝒈(𝒏𝒙)=0であることから



ここで（１）を使おう。（１）の𝒇(𝒙)として



を適用する。𝒑、𝒒は単調増加関数𝒇(𝒙)の



における最小値・最大値を選べばよい。



すなわち



𝒏→∞の極限をとって



はさみうちの原理より



以上が通常の試験で解答すべき記述である。

さて超関数の理論を使って、解答を予想してみよう。前回説明したように



であった。Diracのδ関数は次の特徴を持つのであった：



（２）で登場する関数𝒉(𝒙)は𝒈(𝒙)の導関数なので



さらに合成関数の微分を考慮すれば



両辺𝒏倍して



である。微分と極限の順序入れ替えとか細かい話を省略すれば



である。この式が核である。

さて問題の



の積分区間[−1, 1]には特に意味はなかった。[−2, 2]でもよいし、[−100, 200]でもよい。面倒なので(−∞, ∞)にしておこう：



さて積分と極限の順序入れ替えとか細かい話を省略すれば



上記（＊）の式から



部分積分を実行する



第１項目に関して、𝒙→±∞では、余裕でδ(𝒙)は0である。また第２項目に関しては、δ関数は特徴を表す式を用いよう。すなわち関数



の𝒙=0での値になるのである：



Diracのδ関数は次の特徴：



を持っていたが、その導関数 δ′(𝒙)は次の特徴：



を持つのである。一般に𝒏階微分可能な関数に対して



が成り立つ。

以上のように、本問の（２）の解答の値は𝑭(𝒙)=𝒍𝒐𝒈(1+𝒆𝒙+1)に対する−𝑭′(0)の値になると事前に予想できる。もちろん実際の入試では、先に示した高校数学の手法て解かなければならない。