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2020年度早稲田大学政治経済学部入試数学第3問

性能の相異なるジュース製造機が全部で𝑛台ある。１台目を使って𝑥𝐋（リットル）のジュースを製造すると𝑥2円の費用が掛かり，2台目を使って𝑥𝐋ジュースを製造すると2𝑥2円の費用が掛かる。 以下，同様にして，𝑘台目の製造機を使って𝑥𝐋のジュースを製造すると2𝑘-1𝑥2の費用が掛かる（𝑘=2, 3, ..., 𝑛）。以下の空欄 （あ） 〜 （か） に当てはまる数または数式を求めよ。答のみ解答欄に記入せよ。

• １台目と２台目の製造機のみを使って合計𝑥𝐋のジュースを製造するとき，必要となる費用の最小額を計算したい。１台目を使って𝑡𝐋 (0≤𝑡≤𝑥)のジュースを製造し，２台目を使って残りの(𝑥−𝑡𝐋)のジュースを製造するとき，必要となる費用の総額を𝑡を含む式として表せば （あ） 円となる。この値が最小になるように𝑡の値を選べば，その結果として，費用の総額の最小値は （い） 円となる。
• １台目，２台目，３台目の製造機を使って合計𝑥𝐋のジュースを製造する。１台目と２台目を使って合計𝑡𝐋 (0≤𝑡≤𝑥)のジュースを製造し，３台目を使って残りの(𝑥−𝑡)𝐋のジュースを製造するとき，必要となる費用の総額の最小値をtを含む式として表せば （う） 円となる。この値が最小になるように𝑡の値を選べば，その結果として，費用の総額の最小値は （え） 円となる。
• １台目から𝑘台目までの製造機を使って合計𝑥𝐋のジュースを製造するときに必要な費用の総額の最小値が𝑎𝑘𝑥2円に等しいとき，𝑎𝑘と𝑎𝑘−1のあいだには （お） という関係がある。これを利用すれば，𝑛台すべての製造機を使って合計𝑥𝐋のジュースを製造するときに必要な費用の総額の最小値が （か） 円となることが分かる。

まず目につくのが文章量。 数学の問題は国語や英語に比べて文章量（文字数）が少ないのが一般的であるが、本問においては丸々１ページ使っての出題。 所謂「数学の長文問題」である。 2020年度のセンター試験→共通テストへの変更により、数学も（問題設定が複雑な）長文問題が多くなっている。 今後もこの傾向は顕著になっていくのだろう。 数学にも読解力が必要になるのである。


さて、問題の内容は、政治経済学部らしく？ジュースの製造量と費用（コスト）の問題。 複数のジュースの製造機があって、１台目・２台目...となるに従って、製造コストも上がっていく。 そんな状況で、費用（コスト）を最小にする最適解を求める問題である。


「１台目が安いんなら、全部１台目で作ったらいいんじゃない？」と一瞬思うが、 製造量𝑥𝐋（リットル）に対して、 コストが𝑥2円になるのがネックである。 「作れば作るほどコストが嵩む」状況なのである。 例えば「製造量を1𝐋だけ増やしたい！」とは言っても、 1𝐋から2𝐋へ増やした場合、 コストの増加量は22-12=3円で済むが、 100𝐋から101𝐋へ1𝐋だけ増やした場合、 コストの増加量は1012-1002=201円にもなってしまう。 「こんなことなら、少々高くても２台目を使った方がまし！」と云う訳である。


以下、略解。


（１）１台目で𝑡𝐋、２台目で(𝑥−𝑡)𝐋のジュースを製造するので、 費用は𝑡²+2(𝑥-𝑡)²円...（あ）。𝑡の２次関数として平方完成すると



となるので、



のとき最小値



円...（い）。


（２） １・２台目で𝑡𝐋、３台目で(𝑥−𝑡)𝐋のジュースを製造するので、 （少なくとも１・２台目の間では最小になるように設定した）費用は



円...（う）。これを平方完成すると



円...（え）。


（３）1〜(𝑘-1)台目で既に𝑡𝐋を製造するときの最小値は𝑎𝑘−1𝑡2円であることが分かっているときに、残りの𝑘台目で(𝑥−𝑡)𝐋のジュースを製造する費用は



円。これは



のとき、最小値



円をとる。これが𝑎𝑘𝑥2に等しいので



...（お）。両辺の逆数をとった



から一般項を求めると



...（か）。


解き終えた後の考察も大切。（１）では「コストの比1:2の１〜２台で作るなら製造量を2:1にすればよい」と言っている。（２）では「コストの比1:2:4の１〜３台で作るなら製造量を4:2:1にすればよい」と言っている。「安い機械にはたくさん作らせ、高い機械には少しだけ作らせる」のである。つまり（３）は「１〜𝑘台で製造量を2𝑘-1:...:2:1にした」ときの答えである。

実際𝑥𝐋を1+2+4+...+2𝑘-1=2𝑘-1等分して、１台目に



２台目に



...𝑘台目に



を製造させたときの費用は



となって、（お）を経ずして、（か）が求められる。