今年度の入試問題から：



毎年恒例？の「その年の数（今年は2022）」を素材にした問題です。





とりあえず両辺を２で割りましょう：





1+0+1+1=3なので、1011は3の倍数ですね。両辺を3で割りましょう：





これ以上は割れそうもないですね。指数の部分の毎回-1の部分が鬱陶しいので、x=a-1、y=b-1、z=c-1、w=d-1とすると、





を満たす(x, y, z, w)の組を求める問題に帰着されました。（問題が求めている(a, b, c, d)は、(x, y, z, w)に一律に+1すればよいので）ここでひと段落。





を眺めます。眺めてもどうしようもないので、当てずっぽうに数字を入れてみます。例えば(x, y, z, w)=(1, 2, 3, 4)とか。





「！」ここで気付きます。2x3yも2x3wも大抵、偶数なので、





は、あり得ないことになります。ここで「大抵」と書いたのは、例外的にxかzの一方が0ならば、





のあり得るパターンになります(20=1なので)。よって、以下はとりあえず





と仮定して話を進めましょう。ここで一歩前進。


さてx=0の時





となります。ここでまた気付きます。3yも2x3wも大抵、3の倍数なので、





は、あり得ないことになります（337は3の倍数ではないので）。ここでさらに一歩前進。


さてyかwの一方は0でなければならないのですが、仮にy=0の時





となりますが、336 = 24 × 3 × 7は7の倍数なので、2z3wと等しくなることはありません。よってx=0の時は、w=0であることがわかります。


ゴールは目前です。





大分、式が軽くなりましたね。後はこれを満たす(y, z)を探せばよいのです。とはいえ、「こんな方程式の解を求められるの？」と不安に思う人もいますが、ご安心ください。





２つの正の数の和で337で表すので、3^yも2^zも337未満でなければなりません。例えば3⁶=729で337を超えるので、yとしては5以下のみを調べればよいのです。後は





と移項してから、ひたすら数字をあてはめて探すのみです。





よってx=0の時、(x, y, z, w)=(0, 4, 8, 0)の組しかないことがわかりました。(*)以降しばらくx=0を仮定してきましたが、w=0の時も同様に(x, y, z, w)=(8, 0, 0, 4)の組にたどり着きます。


最後に一律に+1して